Jogos evolucionários sobre grafos bipartidos completos e estrelas duplas

Abstract

Este trabalho tem por objetivo investigar a existência de soluções de estado estacionário puro (ou pontos de equilíbrio puro) assintoticamente estáveis para os modelos matemáticos, em um contexto evolutivo, que descrevem a dinâmica de jogos representados por grafos Bipartidos Completos e Estrelas Duplas. Estamos especificamente interessados em pontos de equilíbrio puro pelo fato de não haver, na literatura, resultados referentes à estabilidade dos mesmos. Os estudos encontrados concentram-se na análise da estabilidade dos pontos de equilíbrio misto, os quais sabemos não serem assintoticamente estáveis para jogos representados por redes arbitrárias de conexões sem self-edges. O modelo matemático associado à dinâmica do jogo representado por um grafo qualquer, ao lado da teoria dos jogos evolucionários, permitiu analisar o comportamento assintótico dos pontos de equilíbrio obtidos para os grafos estudados neste trabalho. O conjunto de experimentos numéricos tornou viável conjecturar e provar a existência e unicidade de soluções de equilíbrio puro assintoticamente estáveis para grafos Bipartidos Completos.

This work aims to investigate the existence of asymptotically stable pure steady state solutions (or asymptotically stable pure equilibrium points) for the mathematical models, in an evolutionary context, that describe the dynamics of the games represented by Complete Bipartite and Double Star graphs. We are speci cally interested in pure equilibrium points because there are no results, in the literature, regarding their stability. The works found study the stability of mixed equilibrium points, which we know are not asymptotically stable for non self-edges networks. The mathematical model associated to the dynamics of the game represented by an arbitrary graph, alongside the evolutionary games theory, allowed to analyze the asymptotic behavior of the equilibrium points obtained for the graphs studied in this work. The set of numerical experiments made possible to conjecture and prove the existence and uniqueness of asymptotically stable pure equilibrium solutions for Complete Bipartite graphs.