Um estudo sobre invariantes espectrais

Abstract

Uma crescente e importante dúvida na Teoria Espectral de Grafos é como saber quando dois grafos são determinados pelo espectro (DS), em particular, da matriz de adjacência, e se quase todos os grafos são DS. Este trabalho retrata o alguns resultados que temos até o momento dos grafos que são determinados pelo seu espectro, isto é, quando um espectro está associado a apenas um grafo, mostrando quais métodos foram utilizados e quais autores foram os responsáveis pelo estudo. Também abordaremos algumas afirmações acerca de grafos DS realizadas por alguns matemáticos que, ao longo dos anos, foram descobertas serem falsas. Apresentamos também um estudo sucinto sobre as invariantes espectrais de um grafo, que são utilizados em todas as presentes demonstrações de grafos que são determinados pelo espectro.

A growing and important question on Spectral Graph Theory is how to know when two graphs are determined by the spectrum (DS) of a matrix, particularly, their adjacency matrix, and if mostly all graphs are DS. This work portraits what we have so far about the graphs that are determine by their spectrum, meaning when a spectrum is associated with only one graph, showing which methods were used and which authors were responsible for the study. We also approach a few affirmations about DS graphs made by some mathematicians that over the years were discovered to be false. We present a succinct study about a graph’s spectral invariable elements, which are used in every shown demonstration on graphs determined by the spectrum.