Análise numérica bi-dimensional para harmônicos eletrostáticos de ondas de Langmuir

Abstract

Neste trabalho estudamos os harmonicos eletrostaticos de ondas de Langmuir em um plasma nao magnetizado e sem colisoes usando a teoria de turbulencia fraca (TTF). Primeiramente fazemos uma introducao a teoria de turbulencia fraca utilizando o formalismo de Klimontovich, mostrando e estudando aspectos fundamentais, como a obtencao da bem conhecida equacao de difusao para as partıculas, a partir da funcao perturbada de Klimontovich, e o procedimento para obtencao da equacao de balanco espectral. A partir da parte real desta equacao, mostramos como encontrar a relacao de dispersao dos modos normais eletrostaticos (ondas de Langmuir e ondas ıon-acusticas) e dos harmonicos de ondas de Langmuir (ondas nao lineares). Por outro lado, da parte imaginaria da equacao de balanco, obtemos as equacoes de onda tanto para modos normais como para harmonicos, que levam em conta efeitos de emissao espontanea, quase-linear (emissao induzida) e nao-lineares (decaimento e espalhamento). Em seguida apresentamos um tratamento matematico para as equacoes de ondas e partıculas, que sao escritas em termos de variaveis adimensionais e normalizadas, e entao fazemos uso da aproximacao bi-dimensional (2D) e para esse caso escrevemos as equacoes usando coordenadas cartesianas. Usamos entao propriedades de simetria e identidades matematicas, obtendo equacoes adequadas para analise numerica. Consideramos como condicoes iniciais um plasma com eletrons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana com um feixe tenue e ıons descritos por uma funcao de distribuicao Maxwelliana, e introduzimos expressoes para os espectros iniciais de ondas de Langmuir (L), ondas ıon-acusticas (S), e harmonicos de ondas de Lagmuir (Ln). Para a analise numerica, usamos um codigo numerico desenvolvido anteriormente por integrantes do grupo de Plasmas do Instituto de Fısica da UFRGS, escrito em linguagem Fortran. Adaptamos e expandimos esse codigo para incluir harmonicos de ondas de Langmuir, e o utilizamos para abordar o problema da instabilidade feixe-plasma na presenca de harmonicos, estudando numericamente a evolucao temporal de ondas e partıculas. Na sequencia, comparamos nossos resultados obtidos usando a abordagem bidimensional (2D) com resultados obtidos em trabalhos anteriores que usavam uma aproximacao unidimensional (1D). Por ultimo apresentamos as conclusoes e perspectivas para a sequencia do trabalho.

In this work we study the electrostatic harmonics of Langmuir waves in unmagnetized and collisionless plasma using the weak turbulence theory (WTT). Initially, we present an introduction to the weak turbulence theory using the Klimontovich formalism, discussing fundamental aspects such as the derivation of the usual diffusion equation for particles, from the perturbed Klimontovich’s function, and the procedure to obtain the spectral balance equation. Moreover, from the real part of the balance equation we show how to find the dispersion relation for electrostatic normal modes (Langmuir and ion-acoustic waves) and for Langmuir wave harmonics (non-linear waves). On the other hand, from the imaginary part of the balance equation, we obtain the kinetic wave equation for normal and harmonic modes, which take into account spontaneous effects, quasi-linear effects (induced emission), and non-linear effects (three-wave decay and scattering). Next, we present a mathematical treatment for waves and particles equations, which are written in terms of normalized and non-dimensional variables, and after that we simplify the equations using a two dimensional approximation (2D), and write the equations explicitly using cartesian coordinates. We utilize symmetry properties, and mathematical identities, and obtain equations which are suitable for numerical analysis. We consider as initial conditions a plasma with electrons described by a maxwellian distribution with a tenuous beam, and ions described by a maxwellian distribution, and introduce the initial spectra for the Langmuir waves waves (L), ion-acoustic waves (S), and Langmuir harmonics (Ln). For the numerical analysis, we have used a numerical code written in the Fortran language, which had been previously developed and utilized by members of the group of plasmas of the Physics Institute at UFRGS; We have upgraded the code in order to take into account the occurrence of harmonics of Langmuir waves, and used it in the analysis of the beam-plasma instability in the presence of these electrostatic harmonics, numerically studying the time evolution of waves and particles. Afterward, we compare our results obtained using the two dimensional approach (2D), with results otained in previous works which used a one dimensional approach (1D). Finally, we present some conclusions, and discuss the perspectives for further research on the subject.