Mecânica quântica através dos propagadores de Feynman

Abstract

Equações diferenciais não homogêneas, como as encontradas na mecânica quântica, muitas vezes não apresentam solução analítica, principalmente quando tais funções dependem explicitamente do tempo. A teoria de perturbação dependente do tempo surge como solução aproximativa para contornar este problema. No trabalho que segue utilizaremos das funções de Green para solucionar a equação de Schrödinger e a equação de Dirac, a última com e sem interação eletromagnética, e tais objetos serão denominados propagadores de Feynman. Iremos introduzir a teoria de perturbação através da expansão em série destes propagadores, onde a solução perturbativa, como no caso com interação eletromagnética, será dada em ordens da solução homogênea, a equação de Dirac para partícula livre. A amplitude de probabilidade de transição entre estados será dada através da matriz de espalhamento Sfi, e os diagramas de Feynman surgirão como um meio de representar esta amplitude.

Non homogeneous differential equations, like the ones we can find in quantum mechanics, usually do not have analytic solutions, especially when we deal with time dependent non homogenous functions. This is, where perturbation theory comes to hand, as an approximate solution to this kind of problem. In this work we will use Green’s functions as a method do solve Schr¨odinger’s equation and Dirac’s equations, the last one with and without electromagnetic interaction, and these functions will then be called Feynman’s Propagators. The perturbation theory will be introduced by the expansion in series of these objects, where the perturbative solution, like the one with eletromagnetic interaction, will be given in orders of the non perturbative solution, the Dirac’s equation as it is. At last, the transition probability amplitude between two states will be given by the scattering matrix Sfi, where the Feynman’s diagrams are going to be a representation of the terms of this object.