Passeios aleatórios quânticos e a quantização dos tempos de primeiro retorno

Abstract

O estudo da recorrência e o problema de se calcular tempos de chegada de processos aleatórios são questões importantes em diversos problemas de física matemática. Neste trabalho, consideramos o passeio aleatório quântico em tempo discreto em uma dimensão com a moeda de Hadamard. Analisamos alguns aspectos de seu comportamento, e fazemos uma comparação com o caso clássico. Duas noções de recorrência são apresentadas. A mais recente delas, introduzida por Grünbaum et al [23],é baseada em um monitoramento em termos de projeçõoes ortogonais. Essa definição leva a um critério de recorrência em termos da função de Schur relacionada. Em particular, descrevemos o fato de que, no caso recorrente, o tempo médio de primeiro retorno é quantizado, em notável contraste com o que acontece com passeios aleatórios clássicos. São mencionadas aplicações e trabalhos relacionados.

The study of recurrence and the problem of calculating hitting times for stochas- tic processes are of fundamental importance in many problems of mathematical physics. In this work, we consider discrete-time quantum random walks on the line with the Hadamard coin. We analyze some aspects of its behavior, and compare it with the classical case. Two notions of recurrence are presented. The most recent one, introduced by Grünbaum et al [23], is based on performing projective measure- ments. This definition leads to a recurrence criterion in terms of the related Schur function. In particular, we describe the fact that, in the recurrent case, the expected first return time is quantized. This is in sharp contrast to classical random walks. We will mention applications and recent developments in this area.