Lagrangiana para plasmas unidimensionais : teoria e simulação da dança das partículas no campo elétrico

Abstract

Neste trabalho, analisamos a dinâmica de um plasma unidimensional não como um fluido contínuo, mas como um conjunto de partículas reais interagindo em um anel periódico. Acompanhando cada elétron individualmente, construímos a função de Green exata para o sistema e, a partir dela, derivamos a Lagrangiana completa que governa sua dinâmica, capaz de descrever desde oscilações suaves até a violenta quebra de onda. Nessa construção surgem dois personagens importantes dessa trama: a variável ξij (t), que registra a ordem relativa dos elétrons, e o operador δ ′ ij , que remove auto-interações e organiza a força eletrostática. Esses elementos ajudam a entender a estrutura profunda desse sistema: sua única frequência natural de vibração, o instante preciso em que a onda quebra, além dos seus três pontos de equilíbrio, e o lugar onde reside a memória desse sistema. Com base nisso, desenvolvemos um simulador numérico em Python capaz de reproduzir a evolução completa das partículas e identificar o regime pós-quebra, no qual o sistema permanece reversível e conserva memória topológica. O resultado final busca uma compreensão unificada e intuitiva da dinâmica desse plasma, mostrando como uma descrição lagrangiana discreta pode iluminar fenômenos coletivos de forma simples e profundamente reveladora.

In this work, we analyze the dynamics of a one-dimensional plasma not as a continuous fluid, but as a collection of real particles interacting on a periodic ring. By following each electron individually, we construct the exact Green’s function for the system and, from it, derive the complete Lagrangian that governs its dynamics, capable of describing both smooth oscillations and violent wavebreaking. In this construction, two important characters of this plot emerge: the variable ξij (t), which records the relative ordering of the electrons, and the operator δ ′ ij , which removes self-interactions and organizes the electrostatic force. Together, these quantities reveal the deep structure of the system: its single natural oscillation frequency, the precise instant at which wavebreaking occurs, its three possible equilibrium configurations, and the mechanism through which the system stores memory of its past ordering. Based on this formulation, we develop a Python numerical simulator capable of reproducing the full evolution of the particles and identifying the post-breaking regime, in which the dynamics remain reversible and preserve topological memory. The final result seeks a unified and intuitive understanding of the one-dimensional plasma dynamics, showing how a discrete Lagrangian description can illuminate collective phenomena in a simple and deeply revealing way.